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domingo, 20 de octubre de 2024
Historia
Una de las conexiones más importantes de todas las matemáticas es la que se da entre la geometría y el álgebra. Historicamente, las matemáticas tomaron un fuerte impulso en el siglo XVII cuando las ideas geométricas de los antiguos se expresaron usando el lenguaje del álgebra, haciendo surgir nuevas herramientas para la resolución de gran variedad de problemas. Los Griegos tomaron elementos de la matemática de los Babilonios y de los Egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.c. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
Geometría en el plano
Es un conjunto de infinitos puntos que se extienden en diferentes direcciones. se representan por letras mayúsculas o minúsculas sobre las cuales se les coloca una flecha de doble sentido. Gráficamente tienen la forma:
Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de la DISTANCIA entre dos puntos.
Sean A = x1 y B = x2 dos puntos de la recta. La distancia entre los puntos A y B se simbolizan por la expresión d = |AB| = | X1 - X2 | ó |X2-X1| que se lee ´Valor absoluto¨
Sean P y Q dos puntos diferentes en el plano cartesiano. Primero los ubicamos en el plano cartesiano y luego trazamos por estos puntos rectas perpendiculares a los ejes ´X¨ y ¨Y¨. Estas rectas se cortan en punto R como se observa en la gráfica. Finalmente se forma un triángulo rectángulo.
El punto medio de un segmento de extremos A (X1, Y1) y B (X2, Y2), será el punto medio del segmento AB, cuya forma es:
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que forma dicha recta con el semi-eje positivo de las ¨X¨, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj. La pendiente de la recta nos da el grado de inclinación de dicha recta o que tan empinada se encuentra, se representa por la letra m.
Podemos observar que se forma un triángulo rectángulo AEB, donde el ángulo BAE = ß por ser correspondientes, luego por definición tenemos: m = Tan ß, definición de pendiente de la recta L, de donde:
La pendiente de la recta nos sirve para hallar la constante de proporcionalidad K cuando tengamos dos variables directamente proporcionales, m = K.
EJEMPLO
Halle la pendiente m de la recta que pasa por los puntos B (0, 0) y A (4, 8)
Veamos un ejemplo de la pendiente de la recta
Video uno
Video dos
Video tres
Video cuatro
Sea una circunferencia con centro C ( h, K ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Aplicando la definición de circunferencia y la distancia entre dos puntos, se tiene:
Sea una circunferencia con centro C ( 0, 0 ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Aplicando la definición de circunferencia y la distancia entre dos puntos, se tiene:
Sea una circunferencia con centro en el punto C ( h, K ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Su ecuación tendrá la forma:
La parábola es un conjunto de puntos del plano que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo llamado FOCO y de una recta fija llamada DIRECTRIZ.
Sea una parábola con eje focal en ¨X¨ y con vértice V ( 0, 0 ). Se abre hacia la derecha. Su ecuación tendrá la forma:
De la misma forma se debe cumplir que una PARÁBOLA con eje focal en Y y vértice V ( 0, 0 ) que se abre hacia la arriba debe tener por ecuación:
Ecuación de la parábola con eje focal horizontal
Sea una PARÁBOLA con eje focal horizontal ( paralelo al eje X) y V ( h, K )
su ecuación tendrá la forma:
De la misma forma se debe cumplir que para una PARÁBOLA con eje focal vertical, ( paralelo al eje Y) y V ( h, K ) su ecuación tendrá la forma:
Sea una parábola con eje focal HORIZONTAL y con vértice V ( h, K ). Se abre hacia la derecha. Su ecuación general tendrá la forma:
La ELIPSE es un conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias desde un punto cualquiera P(X,Y) hasta dos puntos fijos llamados FOCOS es una CONSTANTE.
Sea una elipse con eje focal en X y centro C ( 0, 0 )
De la misma forma se puede calcular la ecuación de una ELIPSE con eje focal en Y y centro O ( 0, 0 )
Ecuación de la ELIPSE con eje focal horizontal
Sea una ELIPSE con eje focal HORIZONTAL ( paralelo al eje X) y centro el punto O (h, K )
De la misma forma se debe cumplir que una ELIPSE con eje focal VERTICAL y centro el punto O (h, K )
Consideremos una ELIPSE con eje focal HORIZONTAl y centro el punto O (h, K )
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