Geometría analítica

Historia

Una de las conexiones más importantes de todas las matemáticas es la que se da entre la geometría y el álgebra. Historicamente, las matemáticas tomaron un fuerte impulso en el siglo XVII cuando las ideas geométricas de los antiguos se expresaron usando el lenguaje del álgebra, haciendo surgir nuevas herramientas para la resolución de gran variedad de problemas. Los Griegos tomaron elementos de la matemática de los Babilonios y de los Egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.c. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

Geometría Euclides, padre de la geometría Cónicas

Geometría en el plano

La línea recta

Es un conjunto de infinitos puntos que se extienden en diferentes direcciones. se representan por letras mayúsculas o minúsculas sobre las cuales se les coloca una flecha de doble sentido. Gráficamente tienen la forma:

Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de la DISTANCIA entre dos puntos.

Distancia entre dos puntos en una recta

Sean A = x1 y B = x2 dos puntos de la recta. La distancia entre los puntos A y B se simbolizan por la expresión d = |AB| = | X1 - X2 | ó |X2-X1| que se lee ´Valor absoluto¨

Distancia entre dos puntos en el plano

Sean P y Q dos puntos diferentes en el plano cartesiano. Primero los ubicamos en el plano cartesiano y luego trazamos por estos puntos rectas perpendiculares a los ejes ´X¨ y ¨Y¨. Estas rectas se cortan en punto R como se observa en la gráfica. Finalmente se forma un triángulo rectángulo.

Punto medio de un segmento de recta

El punto medio de un segmento de extremos A (X1, Y1) y B (X2, Y2), será el punto medio del segmento AB, cuya forma es:

Distancia entre dos puntos Ejemplo I Ejemplo II Punto medio Ejemplo III

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que forma dicha recta con el semi-eje positivo de las ¨X¨, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj. La pendiente de la recta nos da el grado de inclinación de dicha recta o que tan empinada se encuentra, se representa por la letra m.

Podemos observar que se forma un triángulo rectángulo AEB, donde el ángulo BAE = ß por ser correspondientes, luego por definición tenemos: m = Tan ß, definición de pendiente de la recta L, de donde:

La pendiente de la recta nos sirve para hallar la constante de proporcionalidad K cuando tengamos dos variables directamente proporcionales, m = K.